Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheche ha per soluzione (per un ¯τ fissato ad arbitrio)U(τ) = U(¯τ)e τ−¯τ , −∞ < τ < ∞.c) Usiamo per esempio il teorema di esistenza e unicità: dovremo allora imporre lacondizione aψ ′ 2 ≠ bψ′ 1 , per(ψ1 (s),ψ 2 (s) ) = ( s,αs ) , a = 1, b = cosx,che conduce aα ≠ coss, s ∈ R.Questa è vera se e solo se α ∉ [−1,1], ossia α > 1. Dal punto di vista geometrico, ilfatto che la pendenza della retta y = αx sia maggiore di 1 garantisce che essa nonsia mai tangente alle caratteristiche y = sinx+costante.R.(a) ϕ1 (τ),ϕ 2 (τ) ) = ( τ + ¯x,sin(τ + ¯x)+ȳ −sin(¯x) ) , −∞ < τ < ∞.b) U(τ) = U(¯τ)e τ−¯τ , −∞ < τ < ∞.c) α > 1.3. [16/4/2003 (ex)II] Si consideri la equazione del primo ordineu x + 11+x 2 u y = 3u, (x,y) ∈ R 2 .a) Se ne determinino le caratteristiche al suolo.b) Si risolva l’equazione scritta come e.d.o. sulle caratteristiche.c) Si dia unacondizione su α > 0 perché tutta la retta y = αx sia accettabilecome curva che porta il dato in un problema di Cauchy per l’equazione data.Si interpreti geometricamente la condizione ottenuta.R.(a) ϕ1 (τ),ϕ 2 (τ) ) = ( τ + ¯x,arctg(τ + ¯x)+ȳ −arctg(¯x) ) , −∞ < τ < ∞.b) U(τ) = U(¯τ)e 3(τ−¯τ) , −∞ < τ < ∞.c) α > 1.4. [30/6/2003 (ex)I] Calcolare la soluzione del problema di Cauchyu x +xyu y = 0,u(0,y) = y, y ∈ R.SoluzioneA) Troviamo le caratteristiche al suolo risolvendoϕ ′ 1 = 1, ϕ 1 (0) = 0,ϕ ′ 2 = ϕ 1ϕ 2 , ϕ 2 (0) = s,4