Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contorno22. [20/9/2007 (ex)I] Scrivere mediante l’opportuna formula di rappresentazionela soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, x < −1,t > 0,u x (−1,t) = 0, t > 0,u(x,0) = x, x < −1,u t (x,0) = xsinx, x < −1.SoluzioneOccorre riflettere i dati iniziali in modo pari intorno a x = −1.Si ottengono le estensionieũ 0 (x) ={x, x < −1,−2−x, x > −1,{xsinx, x < −1,ũ 1 (x) =(2+x)sin(2+x), x > −1,R. La soluzione èu(x,t) = 1 2[ũ0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) ] + 1 2c∫x+ctx−ctũ 1 (s)ds, x < −1,t > 0,ove{ {x, x < −1, xsinx, x < −1,ũ 0 (x) =ũ 1 (x) =−2−x, x > −1, (2+x)sin(2+x), x > −1,23. [28/3/2008 (ex)I] Trovare con la formula di D’Alembert la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = cos x 2 , 0 < x < π,u t (x,0) = x 2 , 0 < x < π.SoluzioneOccorre riflettere i dati in modo dispari intorno a x = 0, e in modo pari intorno ax = π. Si ottiene per u 0 :⎧−cos x , −π < x < 0,2⎪⎨ cos x 2 , 0 < x < π,ũ 0 (x) = 2π −xcos , π < x < 2π,⎪⎩−cos22π −x281, 2π < x < 3π.