Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornoSoluzioneOccorre riflettere in modo pari i due dati intorno a x = 0. Si ha subito perl’estensione di u 0 :ũ 0 (s) = sins 2 , s ∈ R,e per quella di u 1 :ũ 1 (s) = |sins|, s ∈ R.R. Per x > 0, t > 0 si hau(x,t) = 1 2[sin(x−ct) 2 +sin(x+ct) 2] + 1 2c∫x+ctx−ct|sins|ds.4. [23/9/2003 (ex)II] Risolvere mediante la formula di D’Alembert il problemau tt −c 2 u xx = 0, x < 0,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(x,0) = x 2 arctgx, x < 0,u t (x,0) = cosx, x < 0.SoluzioneOccorre riflettere in modo dispari i due dati intorno a x = 0. Si ha subito perl’estensione di u 0 :ũ 0 (s) = s 2 arctgs, s ∈ R,e per quella di u 1 :ũ 1 (s) = −sign(s)coss, s ∈ R.R. Per x > 0, t > 0 si hau(x,t) = 1 2[(x−ct) 2 arctg(x−ct)+(x+ct) 2 arctg(x+ct) ] − 1 2c∫x+ctx−ctsign(s)cossds.5. [6/2/2004 (hw)I] Risolvereu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π, 0 < t,u(0,t) = 0, 0 < t,u x (π,t) = 0, 0 < t,u(x,0) = sin x 4 , 0 < x < π,u t (x,0) = sin x 2 , 0 < x < π.72