Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

600. Teoria di Fourierove la successione α n è definita daef(x) = α 0 +∞∑α n cos(nx),n=1f(x) = 14√ x, 0 < x < π.in L 2 ((0,π)),SoluzioneSi ha che il sistemaC ={ √ √1 2 2}√π , √ cosx, √ cos2x,... =: {ϕ n } ∞π πn=0è ortonormale completo in L 2 ((0,π)). Dunque l’identità di Parseval implica che∞∑‖f‖ 2 = (f,ϕ n ) 2 .n=0D’altrondeα 0 = 1 √ π(f,ϕ 0 ), α n = 2 √ π(f,ϕ 0 ), n ≥ 1,perciò∞∑ ∞∑α 2 n = α 2 0 + α 2 n = 1 π (f,ϕ 0) 2 + 2 πn=0Calcoliamo infinen=1= − 1 π (f,ϕ 0) 2 + 2 π‖f‖ 2 =∫ π0(f,ϕ 0 ) = √ 1 ∫ππ0∞∑(f,ϕ n ) 2n=1∞∑(f,ϕ n ) 2 = − 1 π (f,ϕ 0) 2 + 2 π ‖f‖2 .n=01√ xdx = [ 2 √ x ] π0 = 2√ π,[ π1 44√ dx = 4]x 3 √ = 4 4√ π.π x3 03R.∞∑n=0α 2 n = 209 √ π .8. [2/4/2007 (ex)II] Calcolare la somma della serie∞∑α 2 n ,n=0160