Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

290. Edp del I ordine: modelli1) Dimostrare che n verifican t +n x = −αxn.[Sugg.: n(x,t+h)−n(x−h,t) = ....]2) Che dimensioni fisiche hanno n e α?3) Supponiamoche pert = 0, n(x,0) = c, a < x < b, ove a, b, c sonocostantipositive; determinare il numero totale di batteri N(t) dopo un tempo t.4) È possibile, nel modello matematico qui introdotto, considerare unapopolazione di batteri che abbiano tutti la stessa età?Soluzione1) Vale per h > 0n(x+h,t+h)−n(x,t) = −hαxn(x,t)+o(h),poiché i batteri che hanno età x+h al tempo t+h sono quelli che avevano età x altempo t, meno quelli morti in (t,t+h). Dividendo per h, e mandando h → 0 si han x +n t = −αxn.2) Sia x che t hanno la dimensione T di un tempo. Dunque n per definizione hadimensione T −1 , e per esempio dall’e.d.p. appena ricavata per n, la dimensione diα risulta essere T −2 .3) Si tratta di risolveren x +n t = −αxn,n(x,0) = c, a < x < b.Troviamo le caratteristiche al suolo, risolvendoove la curva che porta il dato èϕ ′ 1 = 1, ϕ 1(0) = s,ϕ ′ 2 = 1, ϕ 2 (0) = 0,(s,0), a < s < b.Le curve caratteristiche sono dunque(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = ( τ +s,τ ) , −∞ < τ < ∞.[Nel seguito possiamo considerare in modo formale anche valori negativi di τ, nonostantesopra si siano introdotti solo tempi positivi.] L’aperto spazzato da talicaratteristiche è perciò la strisciat+a < x < t+b.LarisolveU(τ) = n ( ϕ 1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) )dU= −α(τ +s)U ,dτU(0) = c.57