Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del caloreha limitelim u(x,t) = ω(x),t→∞e calcolare ω(x). Qui α > 0 è una costante.SoluzioneSe ω esiste è ragionevole supporre che risolva il problema ai limitiLa e.d.o. ha integrale generale−Dω xx = α−ω, ω x (0) = ω x (π) = 0.ω(x) = k 1 e x √D +k2 e − x √D +α.Imponendo le condizioni al bordo si ottiene k 1 = 0, k 2 = 0, cioèω(x) = α, 0 < x < π.Allora cambiamo variabile, in modo che la nuova incognitav(x,t) = u(x,t)−α,che dovrebbe tendere a 0 per t → ∞, risolvav t −Dv xx = −v, 0 < x < π,t > 0,v x (0,t) = 0, t > 0,v x (π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = cosx−α, 0 < x < π.In considerazione della forma che ha assunto l’e.d.p., operiamo la nuova trasformazionedi variabiliw(x,t) = e t v(x,t),che dàw t −Dw xx = 0, 0 < x < π,t > 0,w x (0,t) = 0, t > 0,w x (π,t) = 0, t > 0,w(x,0) = cosx−α, 0 < x < π.Per il principio di massimo e per il lemma di Hopf−1−α ≤ w(x,t) ≤ 1−α.Dunque|v(x,t)| ≤ (1+α)e −t ,e pertanto v(x,t) → 0 se t → ∞.R.ω(x) = α, 0 < x < π.97