Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheA questo scopo eleviamo al quadrato entrambe le uguaglianze, e dividiamo laseconda equazione così trovata per e 2τ , giungendo ada cuie 4τ −e 2τ x 2 −y 2 = 0,e 2τ = x2 + √ x 4 +4y 2.2Dal sistema sopra si ricava subitosins = ye −2τ =2yx 2 + √ x 4 +4y 2 .R.u(x,y) = 1+y( x 2x 2 + √ + √ x 4 +4y 2 )−1 , y > 0.x 4 +4y 2 211. [31/3/2004 (ex)I] Risolverexu x +x 2 u y = 1,u(s,s) = 2s, 0 < s < 1.12. [31/3/2004 (ex)II] Risolverey 2 u x +yu y = 3,u(s,s) = s, 0 < s < 1.13. [28/6/2004 (ex)I] Risolvere il seguente problema, determinando anchel’insieme di definizione massimale della soluzione:{xux +4yu y = u 2 ,u(x,1) = x, x > 0.14. [28/6/2004 (ex)II] Risolvere il seguente problema, determinando anchel’insieme di definizione massimale della soluzione:{4xux +yu y = u 2 ,u(−1,y) = y, y > 0.8