Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeR.a n = 16πn 3[1−(−1)n ].26. [9/4/2010 (ex)I] Uno solo dei due sviluppif(x) = x 2 = α 0 +g(x) = x 3 = α 0 +∞∑α n cosnx+β n sinnx, −π < x < π,n=1∞∑α n cosnx+β n sinnx, −π < x < π,n=1ha i coefficienti che soddisfano|α n |+|β n | ≤ costanten 2 , n ≥ 1.Determinare quale è e calcolarne i coefficienti.SoluzioneConsideriamo la funzione ˜f [rispettivamente ˜g] definita come l’estensione periodicadi periodo 2π di f [rispettivamente di g] a tutto R. Si osserva che ˜f è C 1 a tratti,mentre ˜g non è neanche continua su R.Dunque lo sviluppo desiderato sarà quello di f. Essendo poi f una funzione pari,si deve avere β n = 0, n ≥ 1, nel suo sviluppo. Si calcola poiα n = 1 πα 0 = 12π∫ π−π∫ π−πx 2 dx = π23 ,x 2 cosnxdx = (−1) n 4 n 2 .R.f(x) = x 2 = π2∞ 3 + ∑(−1) n 4 cosnx, −π < x < π.n2 n=1610. Fourier equazione delle onde1. [4/3/2003 (hw)I] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < L,u t (x,0) = 0, 0 < x < L.175