Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

600. Teoria di Fourierove i numeri reali α n sono determinati dall’uguaglianzaf(x) =∣ x2 − π2∞∑4 ∣ = α 0 + α n cos(nx),SoluzioneIntroduciamo il sistema ortonormaleAlloran=1in L 2 ((0,π)).ϕ 0 (x) = 1 √ π, ϕ n (x) = 2 √ πcos(nx), n ≥ 1.α 0 = 1 πα n = 2 π∫ π0∫ πDunque per l’identità di Parseval:Ne segueCalcoliamo infineeα 0 = 1 πn=00f(x)dx = 1 √ π(f,ϕ 0 ),f(x)cos(nx)dx =√2π (f,ϕ n), n ≥ 1.∞∑∞∑‖f‖ 2 = |(f,ϕ n )| 2 = πα 2 π0 +2 α2 n = π 2∫ π0f(x)dx = 1 π‖f‖ 2 =n=1∞∑α 2 n = 2 π ‖f‖2 −α 2 0.n=0[ ∫π 20∫ π0( π24 −x2) dx+∫ ππ2∞∑α 2 n + π 2 α2 0.n=0) 2dx (x 2 − π2 23 =4 240 π5 .]) (x 2 − π2dx = π24 4 ,R.∞∑n=0α 2 n = 31240 π4 .5. [20/4/2006 (ex)II] Calcolare la somma della serie∞∑α 2 n,n=0158