Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreove ũ 0 è l’estensione periodica a R con periodo 4 di⎧−1+x 2 , −1 < x < 0,⎪⎨ 1−x 2 , 0 < x < 1,ũ 0 (x) =−3+4x−x 2 , 1 < x < 2,⎪⎩3−4x+x 2 , 2 < x < 3.25. [15/6/2009 (ex)I] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = −Cu, 0 < x < ∞,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(x,0) = sin 2 x, 0 < x < ∞.Qui D, C sono costanti positive.Si dimostri chelim u(x,t) = 0, per ogni x ∈ R.t→∞SoluzioneMediante una riflessione pari intorno a x = 0, possiamo passare a studiare lasoluzione v del problemav t −Dv xx = −Cv, −∞ < x < ∞,t > 0,v(x,0) = sin 2 x, −∞ < x < ∞,poiché la restrizione di v a x > 0 coincide con u.Introduciamo poi la nuova variabileche risolveTeoremi noti implicano che valew(x,t) = e Ct v(x,t),w t −Dw xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,w(x,0) = sin 2 x, −∞ < x < ∞.0 = mins∈R sin2 s ≤ w(x,t) ≤ maxs∈R sin2 s = 1, x ∈ R, t > 0.Dunque0 ≤ v(x,t) = e −Ct w(x,t) ≤ e −Ct ,il che implica che vale la relazione di limite cercata (addirittura in modo uniformesu R).144