Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreSi dimostri che la soluzione u diu t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,è periodica in x con periodo a, ossiau(x+a,t) = u(x,t), per ogni x ∈ R, t > 0.SoluzioneUsando la formula di rappresentazione si hau(x+a,t) = 1 ∫2 √ πt= 1 ∫2 √ πt+∞−∞+∞−∞e −(x+a−ξ)2 4t u 0 (ξ)dξe −(x−z)2 4t u 0 (z +a)dz = 12 √ πt∫+∞−∞e −(x−z)2 4t u 0 (z)dz = u(x,t).18. [2/4/2007 (ex)II] Sia u 0 una funzione continua e limitata su R, con ununico punto x 0 di massimo assoluto su R, tale cioè cheSi dimostri che la soluzione u diu 0 (x 0 ) > u 0 (x), per ogni x ≠ x 0 .u t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,soddisfa la disuguaglianza strettau(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,u(x,t) < u 0 (x 0 ), per ogni x ∈ R, t > 0.19. [18/4/2007 (ex)I] Scrivere, usando la formula di rappresentazione dell’equazionedel calore nel semipiano, la soluzione diSoluzioneu t −u xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,u(0,t) = 0, 0 < t < ∞,u x (1,t) = 0, 0 < t < ∞,u(x,0) = x 2 , 0 < x < 1.140