Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calorementre u x = 1 su x = π.Con uno studio di funzione, si trova che il minimo del dato iniziale è assunto soloin x = π/2, ove ( π)u2 ,0 = 1− π 4 .Poiché u = 1 su x = 0, il minimo della soluzione è assunto solo in (π/2,0).R.( π)u2 ,0 = 1− π 4 .22. [13/7/2009 (ex)II] Si trovino tutti i punti di massimo e il valore dimassimo della soluzione diR.u t −Du xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 1 t > 0,u(π,t) = 1 t > 0,u(x,0) = − x2π+x+1, 0 < x < π.( π)u2 ,0 = 1+ π 4 .23. [11/1/2010 (ex)I] Si consideri la soluzione u diu t −Du xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,Du x (0,t) = αu(0,t), t > 0,u(1,t) = β, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < 1,ove α > 0 e β ∈ R, β ≠ 0 sono costanti.Dimostrare che u(x,t) ha il segno di β per ogni (x,t), t > 0.SoluzioneA) Sia β > 0. Per il principio di massimo, se u assume un minimo non positivo in[0,1]×[0,¯t],per t > 0, questo deve essere preso su x = 0. Sia (0,¯t) un punto di minimo diquesto tipo. AlloraDu x (0,¯t) = αu(0,¯t) ≤ 0,contro la disuguaglianzau x (0,¯t) > 0,che segue dal Lemma di Hopf parabolico.B) Analogamente, se β < 0, e (0,¯t) è un punto di massimo non negativo con ¯t > 0,si avrebbeDu x (0,¯t) = αu(0,¯t) ≥ 0,101