Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipiano12. [14/4/2005 (ex)II] Sia u 0 : R → R una funzione continua e limitatanon decrescente, cioè tale cheu 0 (x 2 ) ≥ u 0 (x 1 ), per ogni x 1 , x 2 ∈ R, x 2 ≥ x 1 .Dimostrare che la soluzione limitata disoddisfa∆u = 0, −∞ < x < ∞,0 < y,u(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,u(x 2 ,y) ≥ u(x 1 ,y), per ogni x 1 , x 2 ∈ R, x 2 ≥ x 1 e y > 0.13. [16/9/2005 (ex)I] Risolvere mediante la formula di rappresentazione disoluzioni dell’equazione di Laplace nel semipiano il problemau xx +u yy = 0, x > 1,y > 0,u x (1,y) = 0, y > 0,u(x,0) = e 1−x , x > 1.14. [16/9/2005 (ex)II] Risolvere mediante la formula di rappresentazionedi soluzioni dell’equazione di Laplace nel semipiano il problemau xx +u yy = 0, x > 0,y > 1,u y (x,1) = 0, x > 0,u(0,y) = 1 y , y > 1.15. [7/4/2006 (ex)I] Risolvere, mediante la formula di rappresentazione perl’equazione di Laplace nel semipiano,Soluzione∆u = 0, x > 0,y < 0,u(x,0) = 0, x > 0,u(0,y) = e y , y < 0.151