Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

350. Principio di Duhamel per l’equazione delle ondeR.u(x,t) = 1 2 [ũ 0(x−ct)+ũ 0 (x+ct)]+ 1 2c∫x+ctx−ctũ 1 (ξ)dξ, 0 < x < π ,t > 0,2ove ũ 0 e ũ 1 , funzioni periodiche su R di periodo 2π, soddisfano⎧√ π x, 0 < x 0,u(x,0) = 0, −∞ < x < ∞,u t (x,0) = 0, −∞ < x < ∞,ove a è una costante positiva. Calcolare tutti gli integrali.SoluzioneLa u si ottiene dal principio di Duhamel comeu(x,t) = 1 2c∫ t0∫x+c(t−τ)x−c(t−τ)aτ sinsdsdτ = a 2c∫ t0τ[cos(x+cτ−ct)−cos(x−cτ+ct)]dτ .R.u(x,t) = atc 2 sinx+ a2c 3[cos(x+ct)−cos(x−ct)].2. [18/4/2008 (ex)II] Usando il principio di Duhamel si calcoli la soluzionedel problemau tt −c 2 u xx = ate x , −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) = 0, −∞ < x < ∞,u t (x,0) = 0, −∞ < x < ∞,84