Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contorno6.[16/9/2005 (ex)I] ScriveremediantelaformuladiD’Alembert lasoluzionediu tt −c 2 u xx = x, −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) = 0, −∞ < x < ∞,u t (x,0) = sinx, −∞ < x < ∞.7. [16/9/2005 (ex)II] Scrivere mediante la formula di D’Alembert la soluzionediu tt −c 2 u xx = −cosx, −∞ < x < ∞,t > 0,u(x,0) = arctgx, −∞ < x < ∞,u t (x,0) = 0, −∞ < x < ∞.320. Formula di D’Alembert per problemi al contorno1. [30/1/2003 (hw)I] Scrivere la soluzione del problema per la corda semiinfinitau tt −c 2 u xx = 0, x > 0, t > 0,u(x,0) = sinx, x ≥ 0,u t (x,0) = 0, x > 0,u(0,t) = t, t ≥ 0.[Sugg.: passare all’incognita v = u−t.]SoluzioneLa v = u−t soddisfav tt −c 2 v xx = 0, x > 0, t > 0,v(x,0) = sinx, x ≥ 0,v t (x,0) = −1, x > 0,v(0,t) = 0, t ≥ 0,e quindi coincide con la restrizione a x ≥ 0 della soluzione espressa dalla formuladi D’Alembert con dati ottenuti per riflessione dispari:Dunque per x > 0ṽ 0 (s) = sins, ṽ 1 (s) = −sign(s), s ∈ R.v(x,t) = 1 ∫[ ] 1sin(x−ct)+sin(x+ct) −22cx+ctx−ctsign(s)ds.70