Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del calore11. [1/4/2005 (ex)I] Dimostrare che la soluzione limitata diu t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,0 < t,{1, x > 0,u(x,0) = −∞ < x < ∞,0, x < 0,soddisfa per ogni t > 0 fissatoSoluzioneSi ha dalla formula di rappresentazioneu(x,t) = 1 ∫2 √ πt+∞−∞Dunque, per t > 0 fissato,lim u(x,t) = limx→+∞ x→+∞lim u(x,t) = 1.x→+∞χ (0,∞) (ξ)e −(x−ξ)2 4t dξ = 12 √ πtx∫1√ π2 √ t−∞∫+∞∫k1e −z2 dz = lim √k→+∞ π0xe −(x−ξ)2 4t dξ = √ 1 ∫2 √ te −z2 dz. π−∞e −z2 dz−∞= √ 1 ∫+∞e −z2 dz = 1. π−∞12. [1/4/2005 (ex)II] Dimostrare che la soluzione limitata diu t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,0 < t,{0, x > 0,u(x,0) = −∞ < x < ∞,1, x < 0,soddisfa per ogni t > 0 fissatoSoluzioneSi ha dalla formula di rappresentazioneu(x,t) = 1 ∫2 √ πt+∞−∞lim u(x,t) = 1.x→−∞χ (−∞,0) (ξ)e −(x−ξ)2 4t dξ = 12 √ πt∫ 0−∞e −(x−ξ)2 4tdξ= √ 1 ∫+∞e −z2 dz. πx2 √ t137