Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche1. [2003 (hw)I] Risolvere il problema di Cauchyu x +u y = 1,u(s 2 ,s) = coss, −∞ < s < α,trovando il valore massimo di α che permette l’esistenza di una soluzionecon derivate continue.SoluzioneA) Applicando il teorema di esistenza e unicità, controlliamo la condizione0 ≠ aψ ′ 2 −bψ′ 1 = 1−2s,che impone s ≠ 1/2. Perciò, se scegliamo α = 1/2 sopra, il teorema garantiscel’esistenza di una soluzione regolare; in linea di principio, questa potrebbe nonessere la scelta ottimale. Per ora sappiamo dunque che α ≥ 1/2.B) Troviamo le caratteristiche al suolo risolvendo:ϕ ′ 1 = 1, ϕ 1(0) = s 2 ,ϕ ′ 2 = 1, ϕ 2 (0) = s,che implica (ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = ( τ +s 2 ,τ +s ) .Le caratteristiche al suolo sono quindi rette parallele a y = x: alcune intersecanodue volte la curva che porta il dato x = y 2 .C) Risolviamo poi il problema di Cauchy per la e.d.o. sulle caratteristiche al suolo,ossiaPertantodUdτ = 1,U(0;s) = coss.U(τ;s) = τ +coss, −∞ < τ < ∞.D) Infine, per trovare la soluzione cercata u(x,y), torniamo alle variabili (x,y).Risolviamo in (τ,s) (per i punti (x,y) ∈ R 2 per cui questo è possibile,Per sostituzione di τ si ottieneche ha le possibili soluzioniτ +s 2 = x,τ +s = y.s 2 −s+y −x = 0,sotto la condizione1± √ 1−4(y −x)2y ≤ x+ 1 4 .,2