Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

430. Applicazioni del principio di max a prb per eq. di LaplaceR.u(0,±3) = −3.17. [15/9/2009 (ex)II] Si trovino tutti i punti di massimo e il valore dimassimo della soluzione di∆u = 1, in Ω,u(x,y) = |x|−|y|,su ∂Ω,oveR.Ω ={(x,y) | x24 + y29 = 1 }.u(±2,0) = 2.18. [9/4/2010 (ex)I] Trovare il massimo e il minimo della soluzione delproblema∆u = 0,in Ω = A\B,u(x,y) = x 2 +y 2 ,∂u∂ν = 0,ove{ x2A =4 + y2 }9 < 1 , B =SoluzionePer il principio di massimosu ∂A,su ∂B,{ }x 2 +y 2 < 1 .maxu = max u,Ω ∂Ωmin u = min u.Ω ∂ΩD’altronde per il lemma di Hopf, massimo e minimo non possono essere assunti su∂B. Perciòmaxu = maxΩ ∂A x2 +y 2 = max dist( (x,y),(0,0) ) 2= 9,∂Aminu = minΩ ∂A x2 +y 2 = min dist( (x,y),(0,0) ) 2= 4.∂AR.maxu = 9,Ωminu = 4.Ω112