Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

300. Equazione delle ondedovrebbero comportarsi vicino all’origine in modo tale da mantenere la regolaritàdi u). Occorre quindi dimostrare l’esistenza del limite finito L di g. L’argomentosopra implicag(s) = g(β n s), (6)per ogni s > 0 e n ≥ 1.Considerando il comportamento di u sulla semiretta x = λt, t > 0, per ogni fissato0 ≤ λ ≤ v, si ha in modo simile a quanto visto sopra,g(αs) = −f(−s)+u ( λ(c−λ) −1 s,(c−λ) −1 s ) =: −f(−s)+ω(λ,s), (7)perognis > 0, ovesi èpostoα = (c+λ)/(c−λ); si notichel’uguaglianzaprecedenteè vera per ogni s > 0 e ogni 1 ≤ α ≤ β. Per ogni 0 < τ < 1 esiste un unico n taleche 1 ≤ β n τ < β; scegliamo poi α = β n τ. Vale allora (denotando s = ατ)g(τ)−g(1) = g(τ)−g(β n τα −1 )Si noti che α dipende da τ, ma in ogni caso= g(τ)−g(τα −1 ) = g(αs)−g(s) = ω(λ(α),s)−ω(1,s).|ω(λ,s)| ≤che non dipende da λ. Quindimax |u(x,t)| =: ω 0(s),0≤t≤(c−v) −1 s|g(τ)−g(1)| ≤ 2ω 0 (βτ) → 0,per τ → 0. Questo dimostra che il limite per τ → 0 esiste finito, e permette diricondursi al caso precedente.Un esempio importante. Una funzione che soddisfa la (6), ma non è continuanell’origine, è, per β > 1,(G(s) = sin2π lnslnβDefiniamo (prendendo β = (c+v)/(c−v))), s > 0.u(x,t) = G(x+ct)−G(ct−x);questa u non deve soddisfare almeno una delle proprietà richieste sopra, altrimenticontraddirebbe quanto detto. Quale?6. [18/4/2007 (ex)I] Trovare la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, x > ct,t > 0,u(ct,t) = t, t > 0,u(x,0) = 0, x > 0,e dimostrare che è unica.SoluzioneSi sa che deve valereu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct).63