Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

350. Principio di Duhamel per l’equazione delle ondeR.u(x,t) = 1 2c∫ tx+c(t−τ)∫˜f(s)dsdτ ,ove0 x−c(t−τ){sin|x|, −1 < x < 1,˜f(x) =−sin|2−x|, 1 < x < 3,e poi ˜f è estesa a tutto R in modo periodico con periodo 4.5. [15/9/2009 (ex)I] Esprimeremediante la formula di Duhamel la soluzionedel problemau tt −c 2 u xx = cosx 2 , 0 < x < ∞,t > 0,u(0,t) = 0 t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < ∞,u t (x,0) = x 2 , 0 < x < ∞.SoluzioneOccorre riflettere i dati in modo dispari intorno a x = 0. Si ottienePoi, per linearità, si ha u = v +w, oveeũ 1 (x) = x|x|, ˜f(x) = sign(x)cosx 2 .v tt −c 2 v xx = 0, −∞ < x < ∞,t > 0,v(x,0) = 0, −∞ < x < ∞,v t (x,0) = x|x|, −∞ < x < ∞,w tt −c 2 w xx = ˜f(x), −∞ < x < ∞,t > 0,w(x,0) = 0, −∞ < x < ∞,w t (x,0) = 0, −∞ < x < ∞.R.u(x,t) = 1 2c∫x+ctũ 1 (ξ)dξ + 1 2c∫ tx+c(t−τ)∫˜f(s)dsdτ , x > 0,t > 0,x−ct0x−c(t−τ)oveũ 1 (x) = x|x|, ˜f(x) = sign(x)cosx 2 .86