Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinate40. [18/4/2008 (ex)II] Determinare la soluzione u(x,y) del problema diCauchy(x−2)u x +(y −2)u y = u,u ( s,2− √ 4−(s−2) 2) = 1, 0 < s < 4.Determinare anche il dominio massimale Ω di definizione della soluzione.R.u(x,y) = 1 2√(x−2)2 +(y −2) 2 ,inΩ = {(x,y) | y < 2}.41. [16/9/2008 (ex)I] Scrivere la soluzione del seguente problema:(x−1)u x +(y −2)u y = α,u(3,s) = βs, s ∈ R,ove α, β ∈ R sono costanti.Inoltre si trovino i valori di α, β ∈ R che rendono la soluzione estendibile atutto il piano come funzione di classe C 1 .SoluzioneA) Passiamo a coordinate polarix−1 = rcosϕ, y −2 = rsinϕ,r > 0,ϕ ∈ (−π,π),definendov(r,ϕ) = u(x,y).Nelle nuove coordinate la retta x = 3 si esprime comeQuindi il problema divieneSi ha dunquer = 2cosϕ , −π 2 < ϕ < π 2 .rv r = α,( 2) ( 2)vcosϕ ,ϕ = βcosϕ sinϕ+2 , − π 2 < ϕ < π 2 .( 2)v(r,ϕ) = vcosϕ ,ϕ +∫ r2cosϕ( 2)v ρ (ρ,ϕ)dρ = vcosϕ ,ϕ +∫ r2cosϕαρ dρ( 2)= βcosϕ sinϕ+2 +αln rcosϕ .251