Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

960. Trasformata di Laplace e risoluzione di EDOR.y(x) = 2524 e−x + 112 e5x − 1 8 e3x , x ≥ 0.5. [18/4/2007 (ex)I] Risolvere mediante la trasformazione di Laplace ilseguente problemay ′′ +16y = 1+sin2x,y(0) = 0,y ′ (0) = 3.SoluzioneApplichiamo la trasformazione di Laplace alla e.d.o. e otteniamo (denotando Y =L[y])s 2 Y(s)−sy(0)−y ′ (0)+16Y(s) = 1 s + 24+s 2 ,da cuiQuindiY(s) =1 116+s 2 s + 2 14+s 2 16+s 2 + 316+s 2= 1 4 L[sin4x](s)L[1](s)+ 1 4 L[sin4x](s)L[sin2x](s)+ 3 4 L[sin4x](s)= 1 4 L[sin4x∗1](s)+ 1 4 L[sin4x∗sin2x](s)+ 3 4 L[sin4x](s).y(x) = 1 4∫ x0sin4ξdξ + 1 4∫ x0sin2ξsin(4x−4ξ)dξ + 3 4 sin4x.R.y(x) = 1924 sin4x− 1 16 cos4x+ 116 − 112 sin2x.6. [12/7/2007 (ex)I] Risolvere mediante la trasformazione di Laplace ilseguente problemay ′′ −πy ′ = cosx,y(0) = π,y ′ (0) = π 2 .SoluzioneApplichiamo la trasformazione di Laplace alla e.d.o. e otteniamo (denotando Y =L[y])s 2 Y(s)−sy(0)−y ′ (0)−π(sY(s)−y(0)) = s1+s 2 ,239