Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

600. Teoria di Fourier600. Teoria di Fourier1. [8/3/2004 (hw)I] Siano f e g due funzioni in L 2 ((−π,π)), e siano a n , b ni coefficienti di Fourier di f, rispettivamente α n , β n quelli di g. Dimostrareche le serie∞∑a n α n ,n=1sono convergenti.∞∑a n β n ,n=1∞∑b n α n ,n=12. [23/6/2005 (ex)I] Calcolare la somma della serie∞∑b n β n ,n=1ove i b n e i β n sono i coefficienti di Fourier definiti da∞∑b n β n ,n=1∞∑b n sin(nx) = π −x,n=1∞∑β n sin(nx) = ∣ π ∣ ∣∣2 −x ,n=1in L 2 (0,π),in L 2 (0,π).3. [23/6/2005 (ex)II] Calcolare la somma della serie∞∑b n β n ,n=1ove i b n e i β n sono i coefficienti di Fourier definiti da∞∑b n sin(nx) = |π −2x| ,n=1∞∑β n sin(nx) = x,n=1in L 2 (0,π),in L 2 (0,π).4. [20/4/2006 (ex)I] Calcolare la somma della serie∞∑α 2 n ,n=0157