Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di Laplaceche risolve il problemav xx +v yy = 1 ,π0 < x < 1,0 < y < π,v y (x,π) = 0, 0 < x < 1,Cerchiamone lo sviluppo in seriev y (x,0) = 0, 0 < x < 1,v(0,y) = 12π y2 −y, 0 < y < π,v x (1,y) = 0, 0 < y < π.v(x,y) = α 0 (x)+I coefficienti α n risolvono i problemi∞∑α n (x)cos(ny).n=1α ′′ n −n2 α n = γ 0n ,α n (0) = γ 1n ,α ′ n (1) = 0,oveDunque, si haγ 0n = 2 π∫ π0γ 00 = 1 π ,γ 1n = 2 πγ 10 = 1 π∫ π0∫ π01cos(ny)dy = 0, n ≥ 1,π( 1)2π y2 −y cos(ny)dy = 2πn 2 ,( 1)2π y2 −y dy = − π 3 .α n (x) = k 1n e nx +k 2n e −nx , n ≥ 1,x 2α 0 (x) = k 10 +k 20 x+γ 002 , n = 0.Imponendo le condizioni al bordo si ha per n ≥ 1k 1n +k 2n = γ 1n ,nk 1n e n −nk 2n e −n = 0,da cuiIn modo similek 1n = γ 1ne −2n1+e −2n , k 2n = γ 1n1+e −2n .k 10 = γ 10 , k 20 = −γ 00 .229