Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contornousando la formula di D’Alembert.SoluzioneOccorre riflettere i dati iniziali in modo pari intorno a x = π, e in modo dispariintorno a x = 0, prolungando poi su tutto R con periodicità 4π. Nel periodo(−2π,2π) le estensioni saranno date da:{−1, −2π < x < 0,ũ 0 (x) =1, 0 < x < 2π,e da⎧⎪⎨ −2π−x, −2π < x < −π,ũ 1 (x) = x, −π < x < π,⎪⎩2π−x, π < x < 2π.R.oveu(x,t) = 1 [ũ0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) ] + 1 ∫22cũ 0 (x) ={−1, −2π < x < 0,1, 0 < x < 2π;x+ctx−ctũ 1 (s)ds, 0 < x < π,t > 0,⎧⎪⎨ −2π−x, −2π < x < −π,ũ 1 (x) = x, −π < x < π,⎪⎩2π −x, π < x < 2π.19. [2/4/2007 (ex)I] Risolvere mediante la formula di D’Alembert il problemau tt −c 2 u xx = 0, x > 0,t > 0,u x (0,t) = 1, t > 0,u(x,0) = x, x > 0,u t (x,0) = x x > 0.SoluzionePer ricondursi a un problema con condizioni al bordo omogenee introduciamo latrasformazionev(x,t) = u(x,t)−x.Allora v risolvev tt −c 2 v xx = 0, x > 0,t > 0,v x (0,t) = 0, t > 0,v(x,0) = 0, x > 0,v t (x,0) = x x > 0.79