Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateQuindiv(r,ϕ) = v(r,0)+∫ ϕ0(arcosθ +b)dθ = cr+arsinϕ+bϕ.Per ottenere una funzione u continua in R 2 \{(0,0)} occorre perciò che b = 0; inquesto modo si ottieneu(x,y) = c √ x 2 +y 2 +ay,che ha la regolarità voluta per a e c arbitrari.R.u(x,y) = c √ x 2 +y 2 +ay, v(r,ϕ) = cr+arsinϕ,con a e c arbitrari.44. [12/2/2009 (ex)II] Si consideri il problema−yu x +xu y = ax+by,u(s,0) = cs, s > 0,ove a, b, c sono costanti.Trovare tutti i valori di a, b, c per cui esiste una soluzione del problema inC 1 (R 2 ), e scrivere tale soluzione sia in coordinate cartesiane che polari.R.u(x,y) = ay −bx, v(r,ϕ) = arsinϕ−brcosϕ,con c = −b, e a e b arbitrari.45. [13/7/2009 (ex)I] Trovare la soluzione u(x,y) del problemaxu x +yu y = arctg y x ,u(1,s) = as, s ∈ R,ove a ∈ R è una costante.Determinare anche l’aperto massimale di definizione Ω, e i valori di a cherendono la soluzione limitata inΩ ∩{1 < x < 2}.SoluzioneNotiamo che Ω dovrà comunque essere contenuto in {x > 0}, poiché il termine y/xnell’equazione impedisce a x di annullarsi, e la curva che porta il dato è contenutanel semipiano {x > 0}.Passando a coordinate polarisi hav(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ),rv r = ϕ,( 1)vcosϕ ,ϕ = a sinϕcosϕ = atgϕ, − π 2 < ϕ < π 2 .53