Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeoveeγ 0n = 1 πγ 1n = 1 πγ 12 = 0.= 1 π∫2π0∫ π0= 2nπ∫02πf(x)sin(x+1)sin( nx)dx2( nx)dx+ 1 2 π[1−(−1)n ] + 8 ( nπn 2 π sin 2cosxsin∫2π(2π−x+1)sinπ),( nx)dx = 1 { 1−(−1)n2 π n+2( nx)dx2}+ 1−(−1)n , n ≠ 2,n−2Un integrale particolare della e.d.o. non omogenea lo si trova come polinomio diprimo grado in t, ossia4γ 0nc 2 n 2t.Quindi l’integrale generale della e.d.o. saràα n (t) = k 1n cosImponendo i dati iniziali si ha( cn2 t )+k 2n sink 1n = γ 1n ,cn2 k 2n + 4γ 0nc 2 n 2 = 0.( cn2 t )+ 4γ 0nc 2 n 2t.R.u(x,t) =γ 0n = 1 πγ 1n = 1 π∞∑n=1∫ π0∫0[ ( cn)γ 1n cos2 t − 8γ (0n cn)c 3 n 3 sin 2 t + 4γ ]0nc 2 n 2t sin2π(x+1)sincosxsin( nx)dx+ 1 2 π( nx)dx.2∫2π(2π−x+1)sinπ( nx),2( nx)dx,28. [1/4/2005 (ex)I] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = 0, 0 < t,u(π,t) = πt 2 , 0 < t,u(x,0) = x, 0 < x < π,u t (x,0) = 1, 0 < x < π.180