Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateove a ∈ R è costante.Si determinino inoltre gli eventuali valori di a che rendono la soluzione diclasse C 0 (R 2 ).SoluzionePassando a coordinate polarisi ottiene il problemaIntegrando l’equazione differenziale si hav(r,ϕ) = v(1,ϕ)+∫ r1v(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ),rv r = rcosϕ+rsinϕ,v(1,ϕ) = a(cosϕ+sinϕ).[cosϕ+sinϕ]dρ = r[cosϕ+sinϕ]+(a−1)[cosϕ+sinϕ].L’unico valore di a che rende v continua fino nell’origine è a = 1.R.x+yu(x,y) = x+y +(a−1) √x2 +y ,2v(r,ϕ) = r[cosϕ+sinϕ]+(a−1)[cosϕ+sinϕ];a = 1.48. [15/9/2009 (ex)II] Si calcoli la soluzione del problemaxu x +yu y = x 2 +y 2 ,u(x,y) = a(x+y), x 2 +y 2 = 1,ove a ∈ R è costante.Si determinino inoltre gli eventuali valori di a che rendono la soluzione diclasse C 0 (R 2 ).R.u(x,y) = x2 +y 2 −12x+y+a√ x2 +y , 2v(r,ϕ) = r2 −1+a[cosϕ+sinϕ];2a = 0.49. [9/4/2010 (ex)I] Si determini la soluzione del problemayu x −xu y = u 2 ,u(s,s) = s a , s > 0,55