Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle onde9. [1/4/2005 (ex)II] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u x (0,t) = 0, 0 < t,u x (π,t) = 2πt, 0 < t,u(x,0) = 1, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.SoluzionePer ridursi a un problema con dati al bordo omogenei si ponga per esempiocosicché v risolveSi sviluppa quindiv(x,t) = u(x,t)−x 2 t,v tt −c 2 v xx = 2c 2 t, 0 < x < π,0 < t,v x (0,t) = 0, 0 < t,v x (π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = 1, 0 < x < π,v t (x,0) = −x 2 , 0 < x < π.v(x,t) = α 0 (t)+∞∑α n (t)cos(nx).n=1Si ottiene la famiglia di problemi di Cauchy per e.d.o.:⎧α ′′0 = 1 ∫ π2c 2 tdx = 2c 2 t,π⎪⎨α 0 (0) = 1 πα ⎪⎩′ 0(0) = 1 π0∫ π0∫ πe, per ogni n ≥ 1,⎧α ′′ n +c 2 n 2 α n = f n := 2 π⎪⎨⎪⎩α n (0) = 2 πα ′ n (0) = 2 π∫ π0∫ π00dx = 1,(−x 2 )dx = − π23 ,∫ π0(2c 2 t)cos(nx)dx = 0,cos(nx)dx = 0,(−x 2 )cos(nx)dx = 4 n 2(−1)n+1 .182