Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheSi ottiene (ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) = (se τ ,se −τ ), −∞ < τ < ∞.B) Risolviamo poi l’equazione differenziale sulle caratteristiche al suoloSi ottiene per separazione delle variabilidUdτ = eU ,U(0) = s.U(τ;s) = −ln(e −s −τ), −∞ < τ < e −s .C) Torniamo alle coordinate cartesiane, risolvendo il sistemase τ = x,se −τ = y.Si noti che il sistema è risolubile se e solo se x > 0 e y > 0, perché deve essere s > 0.Procedendo per sostituzione si trovas = √ xy, τ = ln√ xy ,da cui( √ xu(x,y) = −ln e −√xy −ln ,y)per (x,y) ∈ Ω, ove sull’aperto massimale di definizione Ω vanno imposte le restrizionix > 0, y > 0 già incontrate, e la τ < e −s , che diviene√ xlny < e−√ xy⇐⇒ x < ye 2e−√ xy. (1)Si osservi che per x > 0, y > 0, vale1 < e 2e−√ xy< e 2 .Perciò se vale la (1), allora vale anche lax < ye 2 .R.( √ xu(x,y) = −ln e −√xy −ln , in Ω = {(x,y) | 0 < x < yexy}.y)2e−√35. [12/7/2007 (ex)II] Si trovi la soluzione del problema di Cauchyxu x −yu y = e −u ,u(s,s) = −s, s > 0,21