Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del calore12. [14/4/2004 (ex)I] Consideriamo le soluzioni u 1 e u 2 diu 1t −u 1xx = 4u, u 2t −u 2xx = 3u, 0 < x < π,u 1 (0,t) = 0, u 2x (0,t) = 0, t > 0,u 1 (π,t) = 0, u 2x (π,t) = 0, t > 0,u 1 (x,0) = sinx, u 2 (x,0) = cosx, 0 < x < π.Dimostrare che per ogni fissato 0 < x < π esiste un t x tale cheu 1 (x,t) > u 2 (x,t), per ogni t > t x .SoluzioneLe soluzioni u i si trovano per separazione delle variabili: tentando con u 1 =T 1 (t)sinx si ottiene per T 1 il problemaossiaT ′ 1 +T 1 = 4T 1 , T 1 (0) = 1,T 1 (t) = e 3t , t ≥ 0.Tentando con u 2 = T 2 (t)cosx si ottiene per T 2 il problemaossiaT ′ 2 +T 2 = 3T 2 , T 2 (0) = 1,T 2 (t) = e 2t , t ≥ 0.Dunque la disuguaglianza richiesta si riduce ae 3t sinx > e 2t cosx,che è ovvia per ogni t > t x = 0 se π/2 ≤ x < π, mentre richiede( )t > t x = max 0,ln cosx ,sinxse 0 < x < π/2.R.⎧⎪⎨ 0,( )π/2 ≤ x < π,t x =⎪⎩ max , 0 < x < π/2.0,ln cosxsinx13. [14/4/2004 (ex)II] Consideriamo le soluzioni u 1 e u 2 diu 1t −u 1xx = 5u, u 2t −u 2xx = u 2 , 0 < x < π 2 ,u 1x (0,t) = 0, u 2 (0,t) = 0, t > 0,u 1( π2 ,t )= 0, u 2x( π2 ,t )= 0, t > 0,u 1 (x,0) = cosx, u 2 (x,0) = sinx, 0 < x < π 2 .119