Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

350. Principio di Duhamel per l’equazione delle ondeove a è una costante positiva. Calcolare tutti gli integrali.R.u(x,t) = a2c 3(e2ct −1)e x−ct − a c 2tex .3. [12/2/2009 (ex)I] Determinare mediante il principio di Duhamel la soluzionediu tt −c 2 u xx = x 2 , 0 < x < 1,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (1,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < 1,u t (x,0) = 0, 0 < x < 1.SoluzioneOccorrono due riflessioni, dispari intorno a x = 0, e pari intorno a x = 1. Dallaprima si ha, posto f(x) = x, 0 < x < 1,˜f(x) = −f(−x) = −x 2 , −1 < x < 0.Infine mediante l’altra riflessione si ha{(2−x)˜f(x) = ˜f(2−x) 2 , 1 < x < 2,=−(2−x) 2 , 2 < x < 3.R.oveu(x,t) = 1 2c∫ t0x+c(t−τ)∫x−c(t−τ)˜f(s)dsdτ ,⎧−x 2 , −1 < x < 0,⎪⎨ x˜f(x) 2 , 0 < x < 1,=(2−x) 2 , 1 < x < 2,⎪⎩−(2−x) 2 , 2 < x < 3,e poi ˜f è estesa a tutto R in modo periodico con periodo 4.4. [12/2/2009 (ex)II] Determinare mediante il principio di Duhamel lasoluzione diu tt −c 2 u xx = sinx, 0 < x < 1,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(1,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < 1,u t (x,0) = 0, 0 < x < 1.85