Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateesprimendola sia in coordinate cartesiane che polari.R.√x2 +yu(x,y) = 1+cosy −cos √ 2, (x,y) ∈ R 2 \{(0,0)},2( r)v(r,ϕ) = 1+cos(rsinϕ)−cos √2 , r > 0.39. [18/4/2008 (ex)I] Determinare la soluzione u(x,y) del problema diCauchy(x−1)u x +(y −1)u y = u 2 ,u ( s,1− √ 1−(s−1) 2) = 1, 0 < s < 2.Determinare anche il dominio massimale Ω di definizione della soluzione.SoluzionePassiamo alle coordinate polarix = 1+rcosϕ,y = 1+rsinϕ,eSi ottiene il problemav(r,ϕ) = u(1+rcosϕ,1+rsinϕ).Quindida cuierv r = v 2 ,v(1,ϕ) = 1, −π < ϕ < 0.v rv 2 = 1 r ,− 1 +C(ϕ) = lnr, r > 0,vv(r,ϕ) =Imponendo il dato di Cauchy si hav(r,ϕ) =1C(ϕ)−lnr .1, 0 < r < e, −π < ϕ < 0.1−lnrR.inu(x,y) =11−ln √ (x−1) 2 +(y −1) 2 ,Ω = {(x,y) | 0 < (x−1) 2 +(y −1) 2 < e 2 ,y < 1}.50