Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1Nel caso poi in cui sia D = C, si determini il limiteR. La soluzione è data dalim u(x,t), 0 < x < πt→∞ 2 .oveu(x,t) =γ n = 1 π∞∑γ n e [C−D(2n+1)2]t cos(2n+1)x,n=0[ 1+(−1)nn+1]− 1−(−1)n , n ≥ 1,nγ 0 = 2 π , n = 0,Segue che, se D = C,lim u(x,t) = 2t→∞ π cosx.22. [15/9/2009 (ex)I] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diQui a, b sono costanti positive.SoluzioneIntroducendo la nuova variabilepassiamo al problemaCerchiamo la soluzione nella formau t −Du xx = a, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = b, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π.v(x,t) = u(x,t)− b π x,v t −Dv xx = a, 0 < x < π,t > 0,v(0,t) = 0, t > 0,v(π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = − b x, 0 < x < π.πv(x,t) =∞∑α n (t)sinnx.n=1213