Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del calore• Trovare un dato u 0 ∈ C([0,π]), con u 0 ≢ 0, tale cheSoluzioneIntroduciamo la nuova incognitaSi verifica subito che v risolvelim u(x,t) = 0, 0 < x < π.t→∞v(x,t) = e −t u(x,t).v t −v xx = 0, 0 < x < π,t > 0,v(0,t) = 0, t > 0,v(π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = u 0 (x), 0 < x < π,Perciòcon∞∑v(x,t) = α n e −n2t sin(nx),n=1∫ πα n = 2 u 0 (x)sin(nx)dx.πQuindiu(x,t) =per cui, per esempio, per t ≥ 1,Si ha inoltre|u(x,t)| ≤ sup|α n |nn=10∞∑α n e (1−n2)t sin(nx),n=1∞∑∞∑e 1−n2 ≤ 2max|u 0 | e 1−n2 = γ.lim u(x,t) = α 1sinx.t→∞Per avere limite nullo, ossia α 1 = 0, basta scegliere ad esempio u 0 (x) = sin(2x).Per l’usuale relazione di ortogonalità si ha allora, infatti,α 1 = 2 π∫ π0n=1sin(2x)sinxdx = 0.R.u 0 (x) = sin(2x), 0 ≤ x ≤ π.121