Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateR.u(x,y) = x(x+y), x > 0,y > 0.36. [12/7/2007 (ex)II] Risolvere il problema di Cauchyxu x +yu y = u,u(s,2−s) = s, 0 < s < 2.R.u(x,y) = x, x > 0,y > 0.37. [28/3/2008 (ex)I] Trovare la soluzione di−yu x +xu y = ycosx,u(s,s) = 4, 0 < s < ∞,esprimendola sia in coordinate cartesiane che polari.SoluzioneIn coordinate polari il problema divienev ϕ = rsinϕcos(rcosϕ) = − ∂ sin(rcosϕ). (1)∂ϕLa condizione di Cauchy si può scrivere come(v r, π )= 4, r > 0.4Dunque, integrando la (1) su (π/4,ϕ) si ottienev(r,ϕ) = 4−sin(rcosϕ)+sin( r √2).La soluzione è definita in tutto il piano meno l’origine.R.√x2 +yu(x,y) = 4−sinx+sin √ 2, (x,y) ∈ R 2 \{(0,0)},2( r)v(r,ϕ) = 4−sin(rcosϕ)+sin √2 , r > 0.38. [28/3/2008 (ex)II] Trovare la soluzione diyu x −xu y = xsiny,u(s,s) = 1, 0 < s < ∞,49