Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinateC) Infine dae τ = x,se 1−e−τ = y,otteniamo immediatamente la u(x,y).R.u(x,y) = x−1, x > 0,y > 0.250. Edp del I ordine: trasformazioni di coordinate1. [3/2/2003 (hw)I] Risolvere il problemaxu x +yu y = x 2 +y 2 ,u(x,y) = x, su x 2 +y 2 = 1,e mostrare che la soluzione non è C 1 (R 2 ).SoluzioneDefiniamov(r,ϕ) = u(x,y),ove (r,ϕ) sono le solite coordinate polari. Il problema diviene allorarv r = r 2 ,v(1,ϕ) = cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.Da qui si ottiene v r = r e per integrazionev(r,ϕ) = r22 +f(ϕ),ove la f si determina poi imponendo il dato su r = 1:Dunquef(ϕ) = cosϕ− 1 2 .v(r,ϕ) = r22 +cosϕ− 1 2 ,e tornando alle coordinate cartesianeu(x,y) = x2 +y 2 −12+x√x2 +y 2 .È chiaro che u è di classe C ∞ in x 2 + y 2 > 0, mentre non è neppure continuanell’origine.34