Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipianooveI =∞⋃n=−∞[2n,2n+1).Supponendonoto che esiste una costante c ∈ R (indipendente da x) tale chelim u(x,y) = c, per ogni x ∈ R,y→∞si determini tale c. [Sugg.: usare l’invarianza dell’equazione di Laplace pertraslazioni, e il teorema di unicità.]SoluzioneSi consideri l’unica soluzione limitata v dioveDato che∆v = 0, x ∈ R,y > 0,v(x,0) = χ I+1 (x) = χ I (x−1), x ∈ R,I +1 = {x ∈ R | x−1 ∈ I} =∞⋃n=−∞w(x,y) = u(x−1,y)[2n+1,2n+2).soddisfa il problema per v ed è limitata, per il teorema di unicità segue che w = v.Dunquelim v(x,y) = lim u(x−1,y) = c, per ogni x ∈ R.y→∞ y→∞D’altronde z = u+v soddisfa∆z = 0, x ∈ R,y > 0,z(x,0) = 1, x ∈ R,e pertanto coincide con l’unica soluzione limitata, costante, z = 1, sempre per ilteorema di unicità. Dunque1 = lim z(x,y) = lim u(x,y)+ lim v(x,y) = 2c, per ogni x ∈ R,y→∞ y→∞ y→∞da cui c = 1/2.R.c = 1 2 .18. [18/4/2007 (ex)I] Scrivere, usando la formula di rappresentazione dell’equazionedi Laplace nel semipiano, la soluzione di∆u = 0, 0 < x < 1,y > 0,u(0,y) = 0, 0 < y < ∞,u x (1,y) = 0, 0 < y < ∞,u(x,0) = x 2 , 0 < x < 1.153