Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di FourierSi determini quale tra i due sviluppi∞∑∞∑f(x) = α 0 + α n cos(nx), f(x) = β n sin(nx),n=1n=1ha i coefficienti che vanno a zero più rapidamente per n → ∞.13. [20/9/2006 (ex)I] Determinare lo sviluppo in serie di FourieroveSoluzioneCalcoliamo:f(x) =∞∑α n sin(2n+1)x, 0 < x < π 2 ,n=0⎧⎨x, 0 < x < πf(x) =4 ,⎩ π1,4 < x < π 2 .α n = 4 ππ∫40= − 4 π= 1 π− 4 πxsin(2n+1)xdx+ 4 π[ xcos(2n+1)x2n+1[ cos(2n+1)x2n+1]π2]π4π40+ 4 π4−π2n+1 cos(2n+1)π 4 + 4 ππ∫2π4π∫40sin(2n+1)xdxxcos(2n+1)x2n+1dx1(2n+1) 2 sin(2n+1)π 4 .R.α n = 1 π4−π2n+1 cos(2n+1)π 4 + 4 1π (2n+1) 2 sin(2n+1)π 4 .14. [12/7/2007 (ex)I] SiaUno solo tra i due sviluppi in serief(x) =n=1f(x) = π 2 −x 2 , 0 < x < π.∞∑∞∑β n sinnx, f(x) = α 0 + α n cosnx, 0 < x < π,n=1ha i coefficienti di ordine O(n −2 ) per n → ∞.Spiegare quale è, e calcolarne tutti i coefficienti.167