Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

300. Equazione delle ondeQui c > 0, v ≥ c sono parametri assegnati.(Si noti che u ≡ 0 è una soluzione. Si tratta di accertare se esistono altresoluzioni.)SoluzioneÈ noto che deve essere per ogni fissata soluzione uda cui, imponendo i dati al contorno,u(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct),f(−ct)+g(ct) = 0, (1)f((v −c)t)+g((v +c)t) = 0. (2)Nel caso v = c si ha da (2) che g è costante; allora, per la (1), anche f è costante,e quindi u essendo costante deve essere la costante nulla.Nel caso v ≠ c, le (1)–(2) si possono anche scrivere comeove si è definita per brevità la costantef(−s) = −g(s), s > 0, (3)f(−s) = −g(βs), βs > 0, (4)β = c+vc−v .Se v > c, allora β < −1. In questo caso le (3)–(4) permettono di ottenere f infunzione di g sia per argomenti negativi che positivi. Quindi la soluzione u saràdata da {g(x+ct)−g(ct−x), 0 ≤ x ≤ ct,u(x,t) =(5)g(x+ct)−g(β(ct−x)), ct < x ≤ vt.RestatuttaviadaimporrecheusiaineffettiinC 2 (Ω). Sivedeconcalcolielementariche questo segue da g ∈ C 2 ([0,∞)), cong ′ (0)(1−β) = 0, g ′′ (0)(1±β 2 ) = 0, cioè con g ′ (0) = 0, g ′′ (0) = 0.Quindi esistono infinite soluzioni, date dalla (5) al variare di g specificata comesopra.Un caso interessante. Il caso v < c, ossia β > 1, è interessante ma contienequalche complicazione tecnica. In questo caso sia la (3) che la (4) valgono pers > 0, e quindi in particolareg(s) = g(sβ −1 ), per ogni s > 0.Iterando quest’uguaglianza si ottiene, per ogni fissato s > 0, se L denota il limitefinito di g nell’origine,g(s) = g(sβ −1 ) = g(sβ −2 ) = ··· = g(sβ −n ) → L,da cui g(s) = L. Perciò g è costante, e quindi anche f lo è, per esempio per la (1).La soluzione u si mantiene quindi identicamente nulla.Tuttavia si osservi che l’esistenza di L non è automatica: sia f che g potrebberoessere di classe C 2 solo, rispettivamente, in (−∞,0) e in (0,∞) (in questo caso62