Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristiche43. [16/9/2008 (ex)II] Trovare la soluzione diR.2u x + 1 3 sinxu y = √ u,u(0,s) = 3s, 0 < s < ∞.( √u(x,y) = 3y + 1 2 cosx− 1 2 + x ) 2,4y > 1−cosy√, x > −4 3y + 1 62 cosx− 1 2 .44. [12/1/2009 (ex)I] Si trovi la soluzione del problema di Cauchy1y 2u x +u y = x,(u s, 1 )= 1, 0 < s < ∞.sDeterminare l’aperto massimale Ω di esistenza della soluzione u.SoluzioneA) Risolviamo il sistema delle caratteristiche al suoloϕ ′ 1 = 1 ϕ 2 , ϕ 1 (0) = s,2ϕ ′ 2 = 1, ϕ 2 (0) = 1 s .La seconda equazione è di immediata risoluzione, e dàϕ 2 (τ;s) = τ + 1 s .Dalla prima si ha quindiϕ ′ 1 =1( ) 2,τ + 1 sda cui infine(ϕ1 (τ;s),ϕ 2 (τ;s) ) =(− 1τ + 1 s+2s,τ + 1 sLe caratteristiche al suolo sono dunque i rami di iperbolex = − 1 +2s, 0 < y < ∞,s ∈ (0,∞).y), τ > − 1 s .28