Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di FourierInoltre, si sa per l’identità di Parseval che2∑(f,ϕ n ) 2 = ‖f‖ 2 ,ove ϕ n è il sistema ortonormalen=1ϕ n (x) =√2π sin(nx).DunqueR.∞∑α 2 n = 2 πn=12∑n=1(f,ϕ n ) 2 = 2 π ‖f‖2 = π26 .α n = 2πn (−1)n+1 (π −2)− 4πn cosnπ 2 ,∞∑α 2 n = π26 .n=123. [12/1/2009 (ex)II] Si determinino i coefficienti dello sviluppooveCalcolare ancheR.f(x) =∞∑α n sin(nx), 0 < x < π,n=1⎧⎨x, 0 < x < πf(x) =2 ,⎩ ππ −x,2 < x < π.∞∑α 2 n .n=1α n = 4πn 2 sinnπ 2 ,∞∑α 2 n = π26 .n=124. [12/2/2009 (ex)I] Determinare quale dei seguenti sviluppi in serie inL 2 ((0,π)) ha i coefficienti che tendono a zero più rapidamente per n → ∞,173