Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contorno13. [20/4/2006 (ex)I] Risolvere, usando la formula di D’Alembert,u tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = x 3 , 0 < x < π,u t (x,0) = sin(x+1), 0 < x < π.SoluzioneI dati iniziali vanno riflessi in modo pari rispetto a x = π, e dispari rispetto a x = 0.Dunque, tali riflessioni saranno⎧⎪⎨ x 3 , −π < x < π,ũ 0 (x) = (2π−x)⎪⎩3 , π < x < 2π,(−2π−x) 3 , −2π < x < −π,e⎧sin(x+1), 0 < x < π,⎪⎨−sin(−x+1), −π < x < 0,ũ 1 (x) =sin(2π−x+1), π < x < 2π,⎪⎩−sin(2π +x+1), −2π < x < −π,ove si suppone poi, in entrambi i casi, che le funzioni siano prolungate su tutto Rcome funzioni periodiche di periodo 4π.R.u(x,t) = 1 [ũ0 (x+ct)+ũ 0 (x−ct) ] + 1 x+ct ∫ũ 1 (s)ds,22covex−ct{x 3 , −π < x < π,ũ 0 (x) =sign(x)(2π −|x|) 3 , π < |x| < 2π,{sign(x)sin(|x|+1), −π < x < π,ũ 1 (x) =sign(x)sin(−|x|+1), π < |x| < 2π,e ũ 0 , ũ 1 sono poi prolungate come funzioni periodiche di periodo 4π su tutto R.14. [20/4/2006 (ex)II] Risolvere, usando la formula di D’Alembert,u tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = cos(2+x), 0 < x < π,u t (x,0) = x 4 , 0 < x < π.76