Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeQui ω e c sono costanti positive.SoluzioneRiconduciamoci a un problema con dati di Dirichlet nulli al contorno, mediante latrasformazionev(x,t) = u(x,t)+ x−π sin(ωt).πLa v soddisfav tt −c 2 v xx = −ω 2x−π sin(ωt),π0 < x < π,0 < t,v(0,t) = 0, 0 < t,v(π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = 0, 0 < x < π,v t (x,0) = x+ ω (x−π), 0 < x < π.πUsiamo il sistema ortonormale in (0,π)sviluppando la soluzione come√2ψ n (x) = sin(nx), n ≥ 1,πv(x,t) =∞∑α n (t)sin(nx).n=1Si ottengono quindi i problemi di Cauchy per i coefficienti α n :α ′′ n +n2 c 2 α n = γ 0n (t) :=α n (0) = 0,α ′ n(0) =(− ω2π γ 1n +ω 2 γ 2n)sin(ωt), 0 < t,(1+ ω )γ 1n −ωγ 2n ,πove con calcoli elementari si ottieneQuindiγ 1n = 2 πγ 2n = 2 π∫ π0∫ πγ 0n (t) = 2ω2nπ sin(ωt),0xsin(nx)dx = 2 n (−1)n+1 ,sin(nx)dx = 2 (1−(−1)n ) .nπα′ n(0) = − 2 nL’integrale generale della e.d.o. sarà dunque((−1) n + ω )=: γ 3n .πα n (t) = k 1n cos(nct)+k 2n sin(nct)+w n (t),186