Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

320. Formula di D’Alembert per problemi al contorno25. [13/7/2009 (ex)I] Esprimere mediante la formula di D’Alembert lasoluzione del problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π ,t > 0,2u(0,t) = 0 t > 0,u x( π2 ,t )= 0 t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < π 2 ,u t (x,0) = cosx, 0 < x < π 2 .SoluzioneOccorre riflettere i dati iniziali in modo dispari intorno a x = 0, e in modo pariintorno a x = π/2, e poi estenderli in modo periodico su R. Si ottiene{1, 0 < x < π,ũ 0 (x) =−1, −π < x < 0.Poi, per le proprietà del coseno,{|cosx|, 0 < x < π,ũ 1 (x) =−|cosx|, −π < x < 0.R.u(x,t) = 1 2 [ũ 0(x−ct)+ũ 0 (x+ct)]+ 1 2c∫x+ctx−ctove ũ 0 e ũ 1 , funzioni periodiche su R di periodo 2π, soddisfanoũ 1 (ξ)dξ, 0 < x < π ,t > 0,2ũ 0 (x) ={1, 0 < x < π,−1, −π < x < 0;ũ 1 (x) ={|cosx|, 0 < x < π,−|cosx|, −π < x < 0.26. [13/7/2009 (ex)II] Esprimere mediante la formula di D’Alembert lasoluzione del problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π ,t > 0,2u(0,t) = 0 t > 0,u x( π2 ,t )= 0 t > 0,u(x,0) = cosx, 0 < x < π 2 ,u t (x,0) = √ x, 0 < x < π 2 .83