Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1Quindi, in modo analogo a quanto visto sopra per n ≥ 1,α 0 (t) =min(t, π µ ) ∫0λ(π −µτ)πdτ .Vista la convergenza della serie per t ≥ 1, e poiché i coefficienti α n , per n ≥ 1,tendono a 0, con rapidità esponenziale, si ha infinelim u(x,t) = lim α 0(t).t→∞ t→∞R. La soluzione è data daovee per n ≥ 1u(x,t) = α 0 (t)+∞∑α n (t)cos(nx),n=1α 0 (t) = λ ) (πt− µt2 , 0 < t < π π 2 µ ,α 0 (t) = λπ2µ , πµ ≤ t,Segue cheα n (t) = − 2λ πα n (t) = − 2λ πDnsin(nµt)−µcos(nµt)+µe −Dn2 tD 2 n 4 +n 2 µ 2 , 0 < t < π µ ,µ(−1) n+1 e −Dn2 (t− π µ ) +µe −Dn2 tD 2 n 4 +n 2 µ 2 ,λπlim u(x,t) =t→∞ 2µ .πµ ≤ t.19. [18/4/2008 (ex)II] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −Du xx = F(x,t), 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,ove, per due costanti positive λ e µ, si definisce⎧⎨µ, 0 < x < π −λt,t < πF(x,t) =λ ,⎩0, altrimenti.210