Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeR.u(x,t) =∞∑n=10 < x < π,t > 0.{ ( cn)−C n cos2 t + 2b (n cn) (cn sin 2 t +A n t 2 +C n}sinn x+π2),7. [14/4/2004 (ex)II] Calcolare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = (x+1)t, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = cosx, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.SoluzioneRiflettiamo il problema in modo pari intorno a x = π, e otteniamoove la sorgente f valev tt −c 2 v xx = f(x)t, 0 < x < 2π,0 < t,v(0,t) = 0, t > 0,v(2π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = cosx, 0 < x < 2π,v t (x,0) = 0, 0 < x < 2π,f(x) ={(2π−x+1), π < x < 2π,(x+1), 0 < x < π.Scegliamo come sistema ortonormale per sviluppare v in serie il sistema:1( nx)√ sin , n = 1,2,3,...π 2cosicché siamo condotti a ricercare i coefficienti α n della seriev(x,t) =∞∑ ( nx)α n (t)sin .2n=1Questi sono determinati dai problemi di Cauchyα ′′ n + c2 n 24 α n = γ 0n t,α n (0) = γ 1n ,α ′ n (0) = 0,179