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Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

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470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del calorecon C > 0 e α > 0 tale cheπ√2+α < π−α, (1)per esempio prendendo α = π/1000. Valev t −v xx = 0, 0 < x < π,t > 0, (2)v(0,t) = Ce − t 2 sinα ≥ u(0,t), t > 0, (3)(v(π,t) = Ce − t π√2)2 sin +α ≥ u(π,t), t > 0, (4)x√2)v(x,0) = Csin(+α ≥ u(x,0), 0 < x < π, (5)ove (3), (4) valgono perché per (1)π√2)Csin(+α ≥ Csinα ≥ 1,pur <strong>di</strong> scegliere C in modo opportuno. Infine (5) vale per ogni 0 ≤ x ≤ π perchéx√2)Csin(+α ≥ Csinα ≥ 2 ≥ u(x,0),ancora scegliendo C abbastanza grande (per esempio C = 2/sinα).Per il principio <strong>di</strong> massimo dunque v ≥ u, e perciò0 ≤ limt→∞u(x,t) ≤ limt→∞v(x,t) = 0.7. [30/6/2003 (ex)II] Dimostrare che se u è la soluzione <strong>di</strong>u t −u xx = 0, 0 < x < π,0 < t < ∞,u(0,t) = 2e − t 3 , 0 < t < ∞,u(π,t) = 2e − t 3 , 0 < t < ∞,u(x,0) = 2+sinx, 0 < x < π,allora per ogni x ∈ (0,π) fissatolim u(x,t) = 0.t→∞8. [23/9/2003 (ex)I] Dimostrare che la soluzione u <strong>di</strong>u t −u xx = 0, 0 < x < 5,0 < t < ∞,u(0,t) = 0, 0 < t < ∞,u x (5,t) = 0, 0 < t < ∞,u(x,0) = 25−(x−5) 2 , 0 < x < 5,116

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