Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del caloreVogliamo dimostrare chelim v(x,t) = 0.t→∞Troviamo una soprasoluzione per v; la funzione(w(x,t) = ke − π2 π)16L 2t2 cos4L xè una soluzione dell’equazione del calore che soddisfaw(0,t),w(L,t) > 0.Per dimostrare che v ≤ w, in virtù del principio di massimo, basta quindi sceglierek come segue:v(x,0) ≤ 1+b+ aL36D = k √2= minw(x,0).In modo simile si dimostra che v ≥ −w (per la stessa scelta di k). Dato chelim w(x,t) = 0,t→∞segue la tesi.R.ω(x) = b L x+ a6D x(L2 −x 2 ).14. [28/3/2008 (ex)II] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = a, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = b, t > 0,u(L,t) = b, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < L,ove a, b sono costanti positive.Si dimostri chelim u(x,t) = ω(x), 0 < x < L,t→∞e si identifichi la funzione ω.R.ω(x) = b+ a2D x(L−x).15. [18/4/2008 (ex)I] Dimostrare che la soluzione u del problemau t −Du xx = α−u, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = cosx, 0 < x < π,96