Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheSoluzioneRisolviamo il sistema caratteristicoϕ ′ 1 = eϕ2 , ϕ 1 (0) = s,ϕ ′ 2 = ϕ 1 e −ϕ2 ,ϕ 2 (0) = ln2s,che dàϕ 1 (τ;s) = s s]2 (3eτ −e −τ ), ϕ 2 (τ;s) = ln[2 (3eτ +e −τ ) , −∞ < τ < ∞.Va quindi risolto il problema di CauchyU ′ = s 2 (3eτ −e −τ ), U(0;s) = s,da cuiU(τ;s) = s 2 (3eτ +e −τ )−s, −∞ < τ < ∞.Il sistema ϕ 1 (τ;s) = x, ϕ 2 (τ;s) = y, risolto, dà√√1+xeτ = ln−y (1+xe3(1−xe −y ) , s = −y)(1−xe −y )ey .3Sostituendo nell’espressione di U si ottiene infine la soluzione.R.√ )(1+xeu(x,y) = e(1−y −y)(1−xe −y ).324. [7/4/2006 (ex)I] Risolvere2u x +(6+2cosx)u y = 0,u(0,s) = s 2 , 0 < s < 3.Trovaresupu,Ωove Ω è l’aperto massimale di definizione della soluzione u.SoluzioneRisolviamo per caratteristiche:1) Troviamo le curve caratteristiche al suolo:che dà subitoϕ ′ 1 = 2, ϕ 1(0) = 0,ϕ ′ 2 = 6+2cosϕ 1 , ϕ 2 (0) = s,ϕ 1 (τ;s) = 2τ , ϕ 2 (τ;s) = 6τ +sin(2τ)+s, −∞ < τ < ∞.2) Risolviamo la e.d.o. sulle caratteristiche al suolo:U ′ (τ;s) = 0,U(0;s) = s 2 ,13